ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — логарифмические уравнения

Разбор — 2 балла

а) Найдём ограничения. Аргументы логарифмов должны быть положительны:

$$\{\begin{array}{l}4x^4+56>0,\\ \sqrt{7x^2+2}>0.\end{array}$$

Оба неравенства верны при любом $x$, потому что $4x^4⩾0$ и $7x^2⩾0$. Значит, уравнение определено при всех $x\in \mathbb{R}$.

Приведём правую часть к основанию $2$. Основание $\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$, аргумент $\sqrt{7x^2+2}={\left(7x^2+2\right)}^{\frac{1}{2}}$. По свойству ${\log }_{a^k}{b}^k={\log }_{a}b$ (при $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$) получаем

$${\log }_{\sqrt{2}}\sqrt{7x^2+2}={\log }_2\left(7x^2+2\right).$$

Запишем $2={\log }_{2}4$ и воспользуемся формулой суммы логарифмов ${\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_a(bc)$:

$$2+{\log }_2\left(7x^2+2\right)={\log }_{2}4+{\log }_2\left(7x^2+2\right)={\log }_2\left(28x^2+8\right).$$

Уравнение принимает вид

$${\log }_2\left(4x^4+56\right)={\log }_2\left(28x^2+8\right).$$

Функция $y={\log }_{2}u$ строго возрастает, поэтому равенство логарифмов от положительных аргументов равносильно равенству самих аргументов:

$$4x^4+56=28x^2+8\iff 4x^4-28x^2+48=0\iff x^4-7x^2+12=0.$$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $u=x^2⩾0$:

$$u^2-7u+12=0.$$

По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна $7$, произведение равно $12$, поэтому $u_1=3$, $u_2=4$. Оба значения неотрицательны. Обратная замена:

$$[\begin{array}{l}{x}^2=3,\\ x^2=4\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pm \sqrt{3},\\ x=\pm 2.\end{array}$$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $[-1,7;1,8]$.

Числа $\pm 2$ не подходят: $2>1,8$ и $-2<-1,7$.

Сравним $\sqrt{3}$ с концами отрезка. Все сравниваемые числа положительны, поэтому можно сравнивать их квадраты:

$$1,7^2=2,89<3<3,24=1,8^2\Rightarrow 1,7<\sqrt{3}<1,8.$$

Значит, $\sqrt{3}$ лежит на отрезке. А $-\sqrt{3}<-1,7$, поэтому $-\sqrt{3}$ на отрезок не попадает.

Ответ: а) $\pm \sqrt{3}$, $\pm 2$; б) $\sqrt{3}$.