ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$: у угла $\frac{\pi }{2}$ синус меняется на кофункцию, а при малых $x$ угол $\frac{\pi }{2}-x$ лежит в первой четверти, где синус положителен.

По основному тригонометрическому тождеству ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$. Подставим оба выражения:

$$6\left(1-{\cos }^{2}x\right)+5\cos x-2=0\iff -6{\cos }^{2}x+5\cos x+4=0\iff 6{\cos }^{2}x-5\cos x-4=0.$$

Сделаем замену $t=\cos x$, где $-1⩽t⩽1$:

$$6t^2-5t-4=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-5{)}^2-4\cdot 6\cdot (-4)=25+96=121=11^2.$$

Корни:

$$t_1=\frac{5+11}{12}=\frac{4}{3},t_2=\frac{5-11}{12}=-\frac{1}{2}.$$

Значение $t_1=\frac{4}{3}>1$ не подходит: косинус не может быть больше единицы. Остаётся $t_2$. Сделаем обратную замену:

$$\cos x=-\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-5\pi ;-3,5\pi \right]=\left[-5\pi ;-\frac{7\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Отметим дугу от $-5\pi$ до $-\frac{7\pi }{2}$ и точки обеих серий.

Проверим серии. Концы отрезка со знаменателем $6$: $-5\pi =-\frac{30\pi }{6}$, $-\frac{7\pi }{2}=-\frac{21\pi }{6}$.

Серия $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: при $k=-3$ получаем $-\frac{16\pi }{3}=-\frac{32\pi }{6}<-\frac{30\pi }{6}$, а при $k=-2$ уже $-\frac{10\pi }{3}=-\frac{20\pi }{6}>-\frac{21\pi }{6}$.

Из серии $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ при $k=-2$ получаем $-\frac{14\pi }{3}=-\frac{28\pi }{6}$, и $-\frac{30\pi }{6}⩽-\frac{28\pi }{6}⩽-\frac{21\pi }{6}$ — корень подходит. Соседние значения $-\frac{20\pi }{3}$ и $-\frac{8\pi }{3}$ лежат вне отрезка.

На отрезке лежит единственный корень $-\frac{14\pi }{3}$.

Ответ: а) $\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{14\pi }{3}$.