ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Все функции в уравнении определены при любом $x$, поэтому ограничений нет.

Раскроем синус разности по формуле $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$, учитывая, что $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$:

$$2\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\frac{1}{2}\cos x\right)=\sqrt{3}\sin x-\cos x.$$

Подставим это в уравнение:

$$\sqrt{3}\sin x-\cos x+2\sqrt{3}{\cos }^{2}x=2\sqrt{3}-\cos x.$$

Слагаемое $-\cos x$ стоит в обеих частях, поэтому оно сокращается. Перенесём всё в левую часть и разделим на $\sqrt{3}\ne 0$ — это равносильный переход:

$$\sin x+2{\cos }^{2}x-2=0.$$

Выразим косинус через синус по основному тригонометрическому тождеству ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$:

$$\sin x+2-2{\sin }^{2}x-2=0\iff \sin x-2{\sin }^{2}x=0\iff \sin x(1-2\sin x)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю (оба множителя определены при всех $x$):

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sin x=\frac{1}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Длина отрезка $\left[-\frac{7\pi }{2};-2\pi \right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому корни удобно отобрать на единичной окружности. Отметим дугу, которую проходит точка при изменении угла от $-\frac{7\pi }{2}$ до $-2\pi$, и точки всех трёх серий из пункта а).

Теперь проверим каждую серию. Для сравнения удобно записать концы отрезка со знаменателем $6$: $-\frac{7\pi }{2}=-\frac{21\pi }{6}$, $-2\pi =-\frac{12\pi }{6}$.

Из серии $x=\pi k$ на отрезок попадают $-3\pi$ и $-2\pi$: соседние значения $-4\pi <-\frac{7\pi }{2}$ и $-\pi >-2\pi$ лежат вне отрезка.

Серия $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ отрезок пропускает: при $k=-2$ получаем $-\frac{23\pi }{6}<-\frac{21\pi }{6}$, а при $k=-1$ уже $-\frac{11\pi }{6}>-\frac{12\pi }{6}$.

Из серии $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ при $k=-2$ получаем $-\frac{19\pi }{6}$, и $-\frac{21\pi }{6}⩽-\frac{19\pi }{6}⩽-\frac{12\pi }{6}$ — корень подходит. Соседние значения $-\frac{31\pi }{6}$ и $-\frac{7\pi }{6}$ лежат вне отрезка.

На отрезке лежат корни $-\frac{19\pi }{6}$, $-3\pi$, $-2\pi$.

Ответ: а) $\pi k$, $\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{19\pi }{6}$, $-3\pi$, $-2\pi$.