ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Распишем синус разности по формуле $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$:

$$\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{3}-\cos x\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x.$$

По формуле приведения $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$. Подставим в уравнение:

$$2\left(\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)-2\sin x=0\iff \sin x-\sqrt{3}\cos x-2\sin x=0\iff \sin x=-\sqrt{3}\cos x.$$

Получилось однородное уравнение первой степени. Если $\cos x=0$, то из него $\sin x=0$, а синус и косинус не могут одновременно равняться нулю, так как ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Значит, на решениях $\cos x\ne 0$, и деление обеих частей на $\cos x$ — равносильный переход:

$$\mathrm{tg}x=-\sqrt{3}\iff x=-\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-8\pi ;-\frac{13\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на окружности. Начало $-8\pi$ — правая точка, конец $-\frac{13\pi }{2}=-8\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через I, II и III четверти.

Серия $x=-\frac{\pi }{3}+\pi k$ даёт две диаметрально противоположные точки: в IV четверти (как $-\frac{\pi }{3}$) и во II четверти (как $\frac{2\pi }{3}$). На дугу попадает только точка II четверти.

Ей соответствует число $-8\pi +\frac{2\pi }{3}=-\frac{22\pi }{3}$. Соседние значения серии $-\frac{22\pi }{3}-\pi =-\frac{25\pi }{3}<-8\pi$ и $-\frac{22\pi }{3}+\pi =-\frac{19\pi }{3}=-\frac{38\pi }{6}>-\frac{39\pi }{6}=-\frac{13\pi }{2}$ лежат вне отрезка.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{22\pi }{3}$.