ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Распишем синус суммы по формуле $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$:

$$2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=2\left(\sin x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos x\cdot \frac{1}{2}\right)=\sqrt{3}\sin x+\cos x.$$

Перенесём всё в левую часть и подставим:

$$\sqrt{3}\sin x+\cos x-2{\cos }^{2}x-\cos x+2=0\iff \sqrt{3}\sin x-2{\cos }^{2}x+2=0.$$

По основному тригонометрическому тождеству ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$, тогда уравнение содержит только синус:

$$\sqrt{3}\sin x-2\left(1-{\sin }^{2}x\right)+2=0\iff 2{\sin }^{2}x+\sqrt{3}\sin x=0.$$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$$\sin x\left(2\sin x+\sqrt{3}\right)=0\iff [\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Синус равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ в точках $-\frac{\pi }{3}$ (IV четверть) и $-\frac{2\pi }{3}$ (III четверть). Получаем

$$[\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на окружности. Начало $2\pi$ — правая точка, конец $\frac{7\pi }{2}=2\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через I, II и III четверти. На ней лежат правая и левая точки (серия $\pi k$) и точка $-\frac{2\pi }{3}$ из III четверти, а точка $-\frac{\pi }{3}$ из IV четверти — нет.

Найдём числа, соответствующие отмеченным точкам. Серия $x=\pi k$ даёт $2\pi$ (начало отрезка) и $3\pi$; следующее значение $4\pi >\frac{7\pi }{2}$. Точке III четверти соответствует $2\pi +\frac{4\pi }{3}=\frac{10\pi }{3}$, и $\frac{10\pi }{3}=\frac{20\pi }{6}<\frac{21\pi }{6}=\frac{7\pi }{2}$. Серия $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{5\pi }{3}<2\pi$, а $\frac{11\pi }{3}=\frac{22\pi }{6}>\frac{7\pi }{2}$.

Ответ: а) $\pi k$, $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$, $-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $2\pi$; $3\pi$; $\frac{10\pi }{3}$.