ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Распишем косинус разности по формуле $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$:

$$4\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=4\left(\cos x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\sin x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=2\sqrt{2}\cos x+2\sqrt{2}\sin x.$$

По формуле приведения $\sin \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=-\cos x$ (синус меняется на косинус, угол $\frac{3\pi }{2}-x$ при малых $x>0$ лежит в III четверти, где синус отрицателен). Поэтому $2\sqrt{2}\sin \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=-2\sqrt{2}\cos x$.

Подставим в уравнение:

$$2\sqrt{2}\cos x+2\sqrt{2}\sin x-2\sqrt{2}\cos x=\sqrt{6}\iff 2\sqrt{2}\sin x=\sqrt{6}\iff \sin x=\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Синус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ в двух точках окружности: $\frac{\pi }{3}$ (I четверть) и $\frac{2\pi }{3}$ (II четверть). Получаем

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[4\pi ;\frac{11\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на окружности. Начало $4\pi$ — правая точка, конец $\frac{11\pi }{2}=4\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через I, II и III четверти, поэтому на ней лежат обе точки решения.

Из серии $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$ на отрезок попадает только $4\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{13\pi }{3}$: соседние значения $\frac{7\pi }{3}<4\pi$ и $\frac{19\pi }{3}>\frac{11\pi }{2}$.

Из серии $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ на отрезок попадает только $4\pi +\frac{2\pi }{3}=\frac{14\pi }{3}$: соседние значения $\frac{8\pi }{3}<4\pi$ и $\frac{20\pi }{3}>\frac{11\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{3}+2\pi k$, $\frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{13\pi }{3}$; $\frac{14\pi }{3}$.