ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Распишем синус разности по формуле $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$:

$$2\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=2\sqrt{2}\left(\sin x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\cos x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=2\sin x-2\cos x.$$

По формуле синуса двойного угла $2\sin 2x=4\sin x\cos x$. Уравнение принимает вид

$$4\sin x\cos x+2\sin x-2\cos x-1=0.$$

Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:

$$2\sin x\left(2\cos x+1\right)-\left(2\cos x+1\right)=0\iff \left(2\cos x+1\right)\left(2\sin x-1\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=-\frac{1}{2},\\ \sin x=\frac{1}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,\\ x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-5\pi ;-\frac{7\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на окружности. Начало $-5\pi =-6\pi +\pi$ — левая точка, конец $-\frac{7\pi }{2}=-4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через III, IV и I четверти. На ней лежат точка $-\frac{2\pi }{3}$ (III четверть) и точка $\frac{\pi }{6}$ (I четверть), а точки $\frac{2\pi }{3}$ и $\frac{5\pi }{6}$ из II четверти дугой не покрыты.

Серия $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{16\pi }{3}<-5\pi$, а следующее значение $-\frac{10\pi }{3}=-\frac{20\pi }{6}>-\frac{21\pi }{6}=-\frac{7\pi }{2}$.

Из серии $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-4\pi -\frac{2\pi }{3}=-\frac{14\pi }{3}$: соседние значения $-\frac{20\pi }{3}<-5\pi$ и $-\frac{8\pi }{3}>-\frac{7\pi }{2}$.

Из серии $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-4\pi +\frac{\pi }{6}=-\frac{23\pi }{6}$: соседние значения $-\frac{35\pi }{6}<-5\pi$ и $-\frac{11\pi }{6}>-\frac{7\pi }{2}$.

Серия $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{31\pi }{6}<-\frac{30\pi }{6}=-5\pi$, а следующее значение $-\frac{19\pi }{6}>-\frac{21\pi }{6}=-\frac{7\pi }{2}$.

Ответ: а) $\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{14\pi }{3}$; $-\frac{23\pi }{6}$.