ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Синус — нечётная функция, поэтому $\sin \left(x-\frac{3\pi }{2}\right)=-\sin \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)$. По формуле приведения $\sin \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=-\cos x$ (угол $\frac{3\pi }{2}-x$ при малых $x>0$ лежит в III четверти, где синус отрицателен). Значит,

$$\sin \left(x-\frac{3\pi }{2}\right)=-\left(-\cos x\right)=\cos x.$$

По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Уравнение принимает вид

$$2\sin x\cos x=\cos x\iff 2\sin x\cos x-\cos x=0\iff \cos x\left(2\sin x-1\right)=0.$$

Делить на $\cos x$ нельзя — потеряем корни, поэтому раскладываем на множители и получаем совокупность:

$$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \sin x=\frac{1}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[\frac{5\pi }{2};4\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на окружности. Начало $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка, конец $4\pi$ — правая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через II, III и IV четверти. На неё попадают верхняя и нижняя точки (серия $\frac{\pi }{2}+\pi k$) и точка $\frac{5\pi }{6}$ из II четверти, а точка $\frac{\pi }{6}$ из I четверти — нет.

Из серии $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ на отрезок попадают $\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{7\pi }{2}$: соседние значения $\frac{3\pi }{2}<\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{9\pi }{2}>4\pi$.

Серия $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{13\pi }{6}<\frac{15\pi }{6}=\frac{5\pi }{2}$, а следующее значение $\frac{25\pi }{6}>\frac{24\pi }{6}=4\pi$.

Из серии $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ на отрезок попадает только $2\pi +\frac{5\pi }{6}=\frac{17\pi }{6}$: соседние значения $\frac{5\pi }{6}<\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{29\pi }{6}>4\pi$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{5\pi }{2}$; $\frac{17\pi }{6}$; $\frac{7\pi }{2}$.