ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Все основания степеней раскладываются на множители 2 и 3: $6=2\cdot 3$, $24=2^3\cdot 3$, $8=2^3$. Поэтому введём новые переменные

$$a=2^{\sin 5x},b=3^{\sin 5x}.$$

Оценим $a$. Так как $-1⩽\sin 5x⩽1$, а функция $y=2^u$ возрастает,

$$2^{-1}⩽2^{\sin 5x}⩽2^1\iff \frac{1}{2}⩽a⩽2.$$

Аналогично $b>0$ (точнее, $\frac{1}{3}⩽b⩽3$).

Выразим каждое слагаемое через $a$ и $b$ по свойствам степени:

$$2^{5\sin 5x}={\left(2^{\sin 5x}\right)}^5=a^5;$$

$$6^{1+\sin 5x}=6\cdot 6^{\sin 5x}=6\cdot 2^{\sin 5x}\cdot 3^{\sin 5x}=6ab;$$

$$24^{\sin 5x}={\left(2^3\cdot 3\right)}^{\sin 5x}={\left(2^{\sin 5x}\right)}^3\cdot 3^{\sin 5x}=a^{3}b;$$

$$3\cdot 8^{\frac{1}{3}+\sin 5x}=3\cdot 8^{\frac{1}{3}}\cdot {\left(2^3\right)}^{\sin 5x}=3\cdot 2\cdot a^3=6a^3.$$

Уравнение принимает вид

$$a^5+6ab=a^{3}b+6a^3.$$

Перенесём всё в левую часть и сгруппируем первое слагаемое с последним, а второе — с третьим:

$$a^5-6a^3-a^{3}b+6ab=0\iff a^3\left(a^2-6\right)-ab\left(a^2-6\right)=0\iff a\left(a^2-6\right)\left(a^2-b\right)=0.$$

Разберём множители. Первый: $a>0$, так как показательная функция положительна, поэтому $a\ne 0$. Второй: из оценки $a⩽2$ следует $a^2⩽4<6$, значит, $a^2-6<0$ и тоже в ноль не обращается. Следовательно, уравнение равносильно уравнению

$$a^2=b.$$

Сделаем обратную замену. Так как $a^2={\left(2^{\sin 5x}\right)}^2=4^{\sin 5x}$, получаем

$$4^{\sin 5x}=3^{\sin 5x}.$$

Разделим обе части на $3^{\sin 5x}>0$ — это равносильный переход:

$${\left(\frac{4}{3}\right)}^{\sin 5x}=1={\left(\frac{4}{3}\right)}^0.$$

Функция $y={\left(\frac{4}{3}\right)}^u$ монотонна, поэтому

$$\sin 5x=0\iff 5x=\pi k\iff x=\frac{\pi k}{5},k\in \mathbb{Z}.$$

Проверка: при $\sin 5x=0$ левая часть равна $2^0+6^1=7$, правая $24^0+3\cdot 8^{\frac{1}{3}}=1+6=7$.

б) Отрезок $\left[\frac{5\pi }{2};\frac{7\pi }{2}\right]$ имеет длину $\pi$. Начало $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $\frac{7\pi }{2}=2\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижняя. Дуга от начала к концу против часовой стрелки — левая половина окружности. Серия $x=\frac{\pi k}{5}$ делит окружность на 10 равных частей по $\frac{\pi }{5}$; на левую полуокружность попадают пять из этих точек.

Найдём эти корни точно с помощью двойного неравенства. Подставим серию в условие и разделим на $\frac{\pi }{5}>0$:

$$\frac{5\pi }{2}⩽\frac{\pi k}{5}⩽\frac{7\pi }{2}\iff \frac{25}{2}⩽k⩽\frac{35}{2}\iff 12,5⩽k⩽17,5.$$

Целые значения: $k=13;14;15;16;17$. Им соответствуют корни

$$\frac{13\pi }{5};\frac{14\pi }{5};3\pi ;\frac{16\pi }{5};\frac{17\pi }{5}.$$

Ответ: а) $\frac{\pi k}{5},k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{13\pi }{5}$; $\frac{14\pi }{5}$; $3\pi$; $\frac{16\pi }{5}$; $\frac{17\pi }{5}$.