ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$. По формуле приведения $\sin \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=-\cos x$: синус меняется на косинус, так как угол отсчитывается от $\frac{3\pi }{2}$, а при малых $x>0$ угол $\frac{3\pi }{2}-x$ лежит в III четверти, где синус отрицателен.

Подставим в уравнение:

$$2\left(2{\cos }^{2}x-1\right)+16\cos x-7=0\iff 4{\cos }^{2}x+16\cos x-9=0.$$

Сделаем замену $t=\cos x$, где $-1⩽t⩽1$:

$$4t^2+16t-9=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=16^2-4\cdot 4\cdot (-9)=256+144=400=20^2.$$

Тогда

$$t_1=\frac{-16+20}{8}=\frac{1}{2},t_2=\frac{-16-20}{8}=-\frac{9}{2}.$$

Значение $t_2=-\frac{9}{2}<-1$ не подходит: косинус не может быть меньше $-1$. Остаётся

$$\cos x=\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[\frac{5\pi }{2};4\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на окружности. Начало $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка, конец $4\pi$ — правая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через II, III и IV четверти. Точка $\frac{\pi }{3}$ лежит в I четверти и дугой не покрыта, а точка $-\frac{\pi }{3}$ из IV четверти на дуге лежит.

Точке IV четверти на дуге соответствует число $4\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{11\pi }{3}$. Соседние значения этой серии $\frac{5\pi }{3}<\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{17\pi }{3}>4\pi$ вне отрезка. Серия $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{7\pi }{3}=\frac{14\pi }{6}<\frac{15\pi }{6}=\frac{5\pi }{2}$, а следующее значение $\frac{13\pi }{3}>4\pi$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{11\pi }{3}$.