а) Решите уравнение (9^(sin 2x)-3^(2√2sin x))/(√(11sin x))=0. б)… — 14 задание ЕГЭ профиль

№14 Тригонометрия и показательные выражения средняя развёрнутое

а) Решите уравнение $\frac{9 ^{s i n 2 x} - 3 ^{22 s i n x}}{11 s i n x} = 0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{7 π}{2}; 5 π]$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 2 балла

а) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель определён и не равен нулю.

Найдём ОДЗ. В знаменателе стоит квадратный корень, а делить на ноль нельзя, поэтому подкоренное выражение должно быть строго положительным:

$11 sin x > 0 \Leftrightarrow sin x > 0.$

Значит, уравнение равносильно системе

${9^{s i n 2 x} - 3^{22 s i n x} = 0, sin x > 0.$

Решим уравнение системы. Приведём $9^{s i n 2 x}$ к основанию 3: $9^{s i n 2 x} = (3^{2})^{s i n 2 x} = 3^{2 s i n 2 x}$ . Тогда

$3^{2 s i n 2 x} = 3^{22 s i n x} .$

Функция $y = 3^{u}$ монотонна, поэтому степени с одинаковым основанием равны только при равных показателях:

$2 sin 2 x = 22 sin x \Leftrightarrow sin 2 x = 2 sin x .$

Распишем синус двойного угла $sin 2 x = 2 sin x cos x$ и вынесем $sin x$ за скобки:

$2 sin x cos x - 2 sin x = 0 \Leftrightarrow sin x (2 cos x - 2) = 0 \Leftrightarrow sin x = 0, cos x = \frac{2}{2} .$

Случай $sin x = 0$ противоречит условию $sin x > 0$ , поэтому не подходит.

Из уравнения $cos x = \frac{2}{2}$ получаем $x = \pm \frac{π}{4} + 2 π k$ , $k \in Z$ . Это две точки единичной окружности. Учтём ограничение $sin x > 0$ :

при $x = \frac{π}{4} + 2 π k$ точка лежит в I четверти, $sin x = \frac{2}{2} > 0$ — подходит;
при $x = - \frac{π}{4} + 2 π k$ точка лежит в IV четверти, $sin x = - \frac{2}{2} < 0$ — не подходит.

Итак, $x = \frac{π}{4} + 2 π k$ , $k \in Z$ .

б) Отрезок $[\frac{7 π}{2}; 5 π]$ имеет длину $\frac{3 π}{2}$ , отберём корни на окружности. Начало $\frac{7 π}{2} = 4 π - \frac{π}{2}$ — нижняя точка, конец $5 π = 4 π + π$ — левая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через IV, I и II четверти, и точка $\frac{π}{4}$ из I четверти на ней лежит.

Отбор корней на единичной окружности

Из серии $x = \frac{π}{4} + 2 π k$ на отрезок попадает только $4 π + \frac{π}{4} = \frac{17 π}{4}$ : соседние значения $\frac{9 π}{4} < \frac{14 π}{4} = \frac{7 π}{2}$ и $\frac{25 π}{4} > \frac{20 π}{4} = 5 π$ .

Ответ: а) $\frac{π}{4} + 2 π k, k \in Z$ ; б) $\frac{17 π}{4}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Сообщить об ошибке

Ещё задания №14