ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе — с четвёртым:

$$\left(2{\cos }^{3}x+2\cos x\right)-\left({\cos }^{2}x+1\right)=0\iff 2\cos x\left({\cos }^{2}x+1\right)-\left({\cos }^{2}x+1\right)=0.$$

Вынесем общий множитель $\left({\cos }^{2}x+1\right)$:

$$\left({\cos }^{2}x+1\right)\left(2\cos x-1\right)=0.$$

Так как ${\cos }^{2}x⩾0$, первый множитель ${\cos }^{2}x+1⩾1>0$ при всех $x$ и в ноль не обращается. Поэтому уравнение равносильно уравнению

$$2\cos x-1=0\iff \cos x=\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на окружности. Начало $2\pi$ — правая точка, конец $\frac{7\pi }{2}=2\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через I, II и III четверти. Точка $\frac{\pi }{3}$ (I четверть) на ней лежит, а точка $-\frac{\pi }{3}$ (IV четверть) — нет.

Из серии $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$ на отрезок попадает только $2\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{7\pi }{3}$: соседние значения $\frac{\pi }{3}<2\pi$ и $\frac{13\pi }{3}>\frac{7\pi }{2}$.

Серия $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{5\pi }{3}<2\pi$, а следующее значение $\frac{11\pi }{3}=\frac{22\pi }{6}>\frac{21\pi }{6}=\frac{7\pi }{2}$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{7\pi }{3}$.