ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

По формуле приведения $\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\cos x$, а по формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$. Подставим:

$$2{\cos }^{2}x-1+\cos x+1=0\iff 2{\cos }^{2}x+\cos x=0.$$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$$\cos x\left(2\cos x+1\right)=0\iff [\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \cos x=-\frac{1}{2}.\end{array}$$

Решим простейшие уравнения:

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k,\\ x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни с помощью двойных неравенств: каждую серию подставим в условие $-\frac{5\pi }{2}⩽x⩽-\pi$, разделим на $\pi >0$ и найдём целые $k$.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$:

$$-\frac{5}{2}⩽\frac{1}{2}+k⩽-1\iff -3⩽k⩽-\frac{3}{2}\Rightarrow k=-3;-2.$$

Получаем $x=\frac{\pi }{2}-3\pi =-\frac{5\pi }{2}$ и $x=\frac{\pi }{2}-2\pi =-\frac{3\pi }{2}$.

Серия $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$:

$$-\frac{5}{2}⩽\frac{2}{3}+2k⩽-1\iff -\frac{19}{6}⩽2k⩽-\frac{5}{3}\iff -\frac{19}{12}⩽k⩽-\frac{5}{6}\Rightarrow k=-1.$$

Получаем $x=\frac{2\pi }{3}-2\pi =-\frac{4\pi }{3}$.

Серия $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$:

$$-\frac{5}{2}⩽-\frac{2}{3}+2k⩽-1\iff -\frac{11}{6}⩽2k⩽-\frac{1}{3}\iff -\frac{11}{12}⩽k⩽-\frac{1}{6}.$$

Между $-\frac{11}{12}$ и $-\frac{1}{6}$ нет целых чисел, поэтому из этой серии на отрезок не попадает ни один корень.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{5\pi }{2}$; $-\frac{3\pi }{2}$; $-\frac{4\pi }{3}$.