ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — логарифмические уравнения

Разбор — 2 балла

а) Логарифм определён только при положительном аргументе, поэтому ОДЗ: $x>0$.

Уравнение квадратное относительно ${\log }_{8}x$. Сделаем замену $t={\log }_{8}x$:

$$6t^2-5t+1=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-5{)}^2-4\cdot 6\cdot 1=25-24=1.$$

Тогда

$$t_1=\frac{5-1}{12}=\frac{1}{3},t_2=\frac{5+1}{12}=\frac{1}{2}.$$

Сделаем обратную замену. По определению логарифма ${\log }_{8}x=c\iff x=8^c$:

$$[\begin{array}{l}{\log }_{8}x=\frac{1}{3},\\ {\log }_{8}x=\frac{1}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2,\\ x=8^{\frac{1}{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.\end{array}$$

Оба числа положительны, значит, удовлетворяют ОДЗ.

б) Сравним корни с концами отрезка $[1;2,5]$.

Корень $2$ подходит: $1⩽2⩽2,5$.

Для корня $2\sqrt{2}=\sqrt{8}$ представим $2,5$ тоже в виде корня: $2,5=\sqrt{2,5^2}=\sqrt{6,25}$. Функция $y=\sqrt{u}$ возрастает, а $8>6,25$, поэтому $\sqrt{8}>\sqrt{6,25}=2,5$. Этот корень лежит правее отрезка и не подходит.

Ответ: а) $2$; $2\sqrt{2}$; б) $2$.