ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Распишем косинус суммы по формуле $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$:

$$4\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=4\left(\cos x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\sin x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=2\sqrt{2}\cos x-2\sqrt{2}\sin x.$$

По формуле приведения $\cos (\pi -x)=-\cos x$ (угол $\pi -x$ при малых $x$ лежит во II четверти, где косинус отрицателен), поэтому $2\sqrt{2}\cos (\pi -x)=-2\sqrt{2}\cos x$.

Подставим в уравнение:

$$2\sqrt{2}\cos x-2\sqrt{2}\sin x-2\sqrt{2}\cos x=2\iff -2\sqrt{2}\sin x=2\iff \sin x=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

На единичной окружности синус равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ в двух точках: в IV четверти (угол $-\frac{\pi }{4}$) и в III четверти (угол $-\frac{3\pi }{4}$). Получаем

$$[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k,\\ x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[\frac{17\pi }{2};10\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на окружности. Начало $\frac{17\pi }{2}=8\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка, конец $10\pi$ — правая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через II, III и IV четверти, поэтому на ней лежат обе точки решения — и в III, и в IV четверти.

Обе точки отсчитываем от конца отрезка $10\pi$ назад. Из серии $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k$ на отрезок попадает только $10\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{39\pi }{4}$: соседние значения $\frac{31\pi }{4}<\frac{34\pi }{4}=\frac{17\pi }{2}$ и $\frac{47\pi }{4}>10\pi$.

Из серии $x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ на отрезок попадает только $10\pi -\frac{3\pi }{4}=\frac{37\pi }{4}$: соседние значения $\frac{29\pi }{4}<\frac{17\pi }{2}$ и $\frac{45\pi }{4}>10\pi$.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{4}+2\pi k$, $-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{37\pi }{4}$; $\frac{39\pi }{4}$.