ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Синус — нечётная функция, поэтому $\sin (x-\pi )=-\sin (\pi -x)$, а по формуле приведения $\sin (\pi -x)=\sin x$. Значит, $\sin (x-\pi )=-\sin x$. По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Уравнение принимает вид

$$2\sin x\cos x+\sin x=0.$$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$$\sin x\left(2\cos x+1\right)=0\iff [\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \cos x=-\frac{1}{2}.\end{array}$$

Решим простейшие уравнения:

$$[\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[\frac{7\pi }{2};5\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{7\pi }{2}=4\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка окружности, конец $5\pi =4\pi +\pi$ — левая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через IV, I и II четверти.

Серия $x=\pi k$ даёт правую и левую точки окружности — обе лежат на дуге. Серия $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ даёт точку во II четверти — она на дуге. Серия $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ даёт точку в III четверти — она дугой не покрыта.

Найдём числа, соответствующие отмеченным точкам: правая точка — $4\pi$, левая — $5\pi$ (конец отрезка), точка II четверти — $4\pi +\frac{2\pi }{3}=\frac{14\pi }{3}$. Для третьей серии ближайшие значения $\frac{10\pi }{3}<\frac{7\pi }{2}$ и $\frac{16\pi }{3}>5\pi$ лежат вне отрезка.

Ответ: а) $\pi k$, $\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $4\pi$; $\frac{14\pi }{3}$; $5\pi$.