ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №11 — движение по окружности

Разбор — 1 балл

За $1$ час минутная стрелка делает полный оборот по циферблату, то есть её скорость равна $1$ кругу в час. Часовая стрелка за $12$ часов делает один оборот, то есть её скорость равна $\frac{1}{12}$ круга в час.

Минутная стрелка движется быстрее часовой, поэтому периодически догоняет её. Скорость, с которой минутная стрелка сокращает разрыв с часовой (скорость сближения), равна разности их скоростей:

$$1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}\text{ круга в час}.$$

В $8$ часов $00$ минут часовая стрелка стоит на цифре $8$, то есть на $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$ круга от цифры $12$ по ходу движения, а минутная стоит на $0$. Чтобы догнать часовую в первый раз, минутной стрелке нужно наверстать именно эту дугу $\frac{2}{3}$ круга.

Каждое следующее совпадение происходит через ещё один полный круг относительного движения, так как стрелки всё время идут по кругу. Значит, до четвёртого совпадения минутной стрелке нужно наверстать (относительно часовой)

$$\frac{2}{3}+3\cdot 1=\frac{11}{3}\text{ круга}.$$

Найдём время, за которое относительное движение накопит $\frac{11}{3}$ круга при скорости сближения $\frac{11}{12}$ круга в час:

$$t=\frac{\frac{11}{3}}{\frac{11}{12}}=\frac{11}{3}\cdot \frac{12}{11}=4\text{ часа}=240\text{ минут}.$$

Ответ: $240$.