ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №11 — движение по прямой

Разбор — 1 балл

Пусть скорость автобуса равна $v$ км/ч, а расстояние от города A до точки встречи K равно $s$ км.

Автомобиль выехал на $2$ часа позже автобуса, но догнал его в точке K, значит, время автобуса от A до K на $2$ часа больше времени автомобиля от A до K:

$$\frac{s}{v}=\frac{s}{65}+2.(1)$$

После встречи в K автомобиль повернул обратно в A, а автобус продолжил путь в Б. Когда автомобиль вернулся в A, автобус прибыл в Б, то есть их пути после встречи заняли одинаковое время. Автомобилю нужно проехать обратно расстояние $s$ со скоростью $65$ км/ч, а автобусу — оставшееся расстояние от K до Б, равное $336-s$ км, со скоростью $v$:

$$\frac{s}{65}=\frac{336-s}{v}.(2)$$

Из уравнения (2) выразим $v$:

$$v=\frac{65(336-s)}{s}.$$

Подставим это выражение в уравнение (1):

$$\frac{s^2}{65(336-s)}=\frac{s}{65}+2.$$

Умножим обе части на $65(336-s)$:

$$s^2=s(336-s)+2\cdot 65(336-s).$$

Раскроем скобки:

$$s^2=336s-s^2+130\cdot 336-130s,$$

$$s^2=336s-s^2+43680-130s,$$

$$2s^2-206s-43680=0.$$

Разделим обе части на $2$:

$$s^2-103s-21840=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=103^2+4\cdot 21840=10609+87360=97969=313^2.$$

Корни:

$$s_1=\frac{103+313}{2}=208,s_2=\frac{103-313}{2}=-105.$$

Так как расстояние положительно, подходит $s=208$ км.

Ответ: $208$.