ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №11 — движение по воде

Разбор — 1 балл

Пусть скорость течения реки равна $x$ км/ч, при этом $0<x<10$, так как течение не может быть быстрее скорости лодки в стоячей воде.

Скорость лодки по течению равна $10+x$ км/ч, против течения — $10-x$ км/ч. Расстояние в обе стороны одинаковое, $96$ км, поэтому время по течению равно $\frac{96}{10+x}$ ч, а против течения — $\frac{96}{10-x}$ ч.

По условию обратный путь (по течению) занял на $4$ часа меньше, чем путь против течения:

$$\frac{96}{10-x}-\frac{96}{10+x}=4.$$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{96(10+x)-96(10-x)}{(10-x)(10+x)}=4,\frac{192x}{100-x^2}=4.$$

Так как $x\ne 10$ и $x\ne -10$, умножим обе части на $100-x^2$:

$$192x=4(100-x^2).$$

Разделим на $4$:

$$48x=100-x^2,x^2+48x-100=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=48^2+4\cdot 100=2304+400=2704=52^2.$$

Корни уравнения:

$$x_1=\frac{-48+52}{2}=2,x_2=\frac{-48-52}{2}=-50.$$

Так как скорость течения положительна, подходит только $x=2$.

Ответ: $2$.