ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №11 — движение по воде

Разбор — 1 балл

Пусть собственная скорость катера равна $v$ км/ч ($v>3$). Тогда по течению он плывёт со скоростью $(v+3)$ км/ч, а против течения — со скоростью $(v-3)$ км/ч.

С $11:00$ до $15:00$ прошло $4$ часа — это время включает путь туда, путь обратно и стоянку в пункте B. Стоянка длилась $1$ час $20$ минут, то есть $\frac{4}{3}$ часа. Значит, в движении катер находился

$$4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}\text{ ч}.$$

Расстояние $15$ км катер прошёл один раз по течению и один раз против течения. Составим уравнение:

$$\frac{15}{v+3}+\frac{15}{v-3}=\frac{8}{3}.$$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{15(v-3)+15(v+3)}{(v+3)(v-3)}=\frac{8}{3},$$

$$\frac{30v}{v^2-9}=\frac{8}{3}.$$

Так как $v>3$, величина $v^2-9$ положительна, поэтому умножим обе части на $3(v^2-9)$:

$$90v=8(v^2-9),$$

$$8v^2-90v-72=0,$$

$$4v^2-45v-36=0.$$

Найдём дискриминант: $D=45^2+4\cdot 4\cdot 36=2025+576=2601=51^2$. Корни:

$$v_1=\frac{45+51}{8}=12,v_2=\frac{45-51}{8}=-\frac{3}{4}.$$

Так как скорость положительна, подходит только $v=12$.

Ответ: $12$.