ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №11 — движение по окружности

Разбор — 1 балл

За $15$ минут, то есть за $\frac{1}{4}$ часа, первый гонщик обогнал второго на целый круг, то есть проехал на $3$ км больше второго. Значит, разница скоростей гонщиков равна

$$3:\frac{1}{4}=12\text{ км/ч}.$$

Пусть скорость второго гонщика равна $x$ км/ч, тогда скорость первого равна $(x+12)$ км/ч. Каждому гонщику нужно проехать $60\cdot 3=180$ км.

Время первого гонщика равно $\frac{180}{x+12}$ ч, время второго — $\frac{180}{x}$ ч. Так как первый финишировал на $10$ минут, то есть на $\frac{1}{6}$ часа, раньше второго, составим уравнение:

$$\frac{180}{x}-\frac{180}{x+12}=\frac{1}{6}.$$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{180(x+12)-180x}{x(x+12)}=\frac{1}{6},$$

$$\frac{180\cdot 12}{x(x+12)}=\frac{1}{6},$$

$$x(x+12)=6\cdot 180\cdot 12=12960.$$

Получаем квадратное уравнение

$$x^2+12x-12960=0.$$

Найдём дискриминант: $D=12^2+4\cdot 12960=144+51840=51984=228^2$. Корни:

$$x_1=\frac{-12+228}{2}=108,x_2=\frac{-12-228}{2}=-120.$$

Так как скорость не может быть отрицательной, подходит только $x=108$.

Ответ: $108$.