ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №11 — движение по окружности

Разбор — 1 балл

Пусть скорость первого гонщика равна $x$ км/ч, а второго — $y$ км/ч (обе положительны). Переведём минуты в часы по формуле: время в часах равно времени в минутах, делённому на 60.

Весь путь каждого гонщика равен 22 круга по 3 км, то есть 66 км. Время первого равно $\frac{66}{x}$ часов, время второго — $\frac{66}{y}$ часов. По условию первый финишировал на 11 минут раньше:

$$\frac{66}{x}+\frac{11}{60}=\frac{66}{y},$$

то есть

$$\frac{6}{x}+\frac{1}{60}=\frac{6}{y}.$$

Теперь рассмотрим момент, когда первый гонщик впервые обогнал второго на круг — это произошло через 10 минут, то есть через $\frac{1}{6}$ часа после старта. За это время первый проехал на 3 км (один круг) больше второго:

$$x\cdot \frac{1}{6}=y\cdot \frac{1}{6}+3,$$

$$x=y+18.$$

Подставим $x=y+18$ в первое уравнение:

$$\frac{6}{y+18}+\frac{1}{60}=\frac{6}{y},$$

$$\frac{6}{y}-\frac{6}{y+18}=\frac{1}{60}.$$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{6(y+18)-6y}{y(y+18)}=\frac{1}{60},$$

$$\frac{108}{y(y+18)}=\frac{1}{60}.$$

Так как $y>0$, домножим обе части на $60y(y+18)$:

$$108\cdot 60=y(y+18),$$

$$y^2+18y-6480=0.$$

Дискриминант: $D=18^2+4\cdot 6480=324+25920=26244=162^2$. Корни:

$$y_1=\frac{-18+162}{2}=72,y_2=\frac{-18-162}{2}=-90.$$

Скорость положительна, поэтому скорость второго гонщика равна $72$ км/ч.

Ответ: $72$.