ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №11 — движение по воде

Разбор — 1 балл

Пусть $v$ км/ч — собственная скорость яхты в неподвижной воде ($v>4$). По течению яхта идёт со скоростью $(v+4)$ км/ч, против течения — со скоростью $(v-4)$ км/ч.

Плот движется со скоростью течения, то есть 4 км/ч, и к указанному моменту он прошёл 92 км, затратив на это

$$\frac{92}{4}=23\text{ часа}.$$

Яхта отправилась на 3 часа позже плота, поэтому к этому моменту она была в пути

$$23-3=20\text{ часов}.$$

За это время яхта успела дойти до В и вернуться в А:

$$\frac{192}{v+4}+\frac{192}{v-4}=20.$$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{192(v-4)+192(v+4)}{(v+4)(v-4)}=20,$$

$$\frac{384v}{v^2-16}=20.$$

Домножим обе части на $(v^2-16)$:

$$384v=20(v^2-16),$$

$$20v^2-384v-320=0.$$

Разделим на 4:

$$5v^2-96v-80=0.$$

Дискриминант: $D=96^2+4\cdot 5\cdot 80=9216+1600=10816=104^2$. Корни:

$$v_1=\frac{96+104}{10}=20,v_2=\frac{96-104}{10}=-0,8.$$

Скорость положительна, поэтому собственная скорость яхты равна $20$ км/ч.

Ответ: $20$.