ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №11 — движение по воде

Разбор — 1 балл

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость яхты ($x>2$, так как яхта способна идти против течения, скорость которого 2 км/ч). По течению яхта идёт со скоростью $(x+2)$ км/ч, против течения — со скоростью $(x-2)$ км/ч.

Плот движется со скоростью течения, то есть 2 км/ч, и путь 38 км он проходит за

$$\frac{38}{2}=19\text{ часов}.$$

Яхта отправилась на 1 час позже плота, поэтому к этому моменту она была в пути на 1 час меньше — 18 часов. Это время она потратила на путь туда и обратно:

$$\frac{160}{x+2}+\frac{160}{x-2}=18.$$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{160(x-2)+160(x+2)}{(x+2)(x-2)}=18,$$

$$\frac{320x}{x^2-4}=18.$$

Разделим обе части на 2:

$$\frac{160x}{x^2-4}=9.$$

Так как $x>2$, домножим обе части на $(x^2-4)>0$:

$$160x=9(x^2-4),$$

$$9x^2-160x-36=0.$$

Дискриминант: $D=160^2+4\cdot 9\cdot 36=25600+1296=26896=164^2$. Корни:

$$x_1=\frac{160+164}{18}=18,x_2=\frac{160-164}{18}=-\frac{2}{9}.$$

Так как $x>2$, собственная скорость яхты равна $18$ км/ч.

Ответ: $18$.