ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №11 — движение по прямой

Разбор — 1 балл

Пусть $v$ км/ч — скорость автобуса, а $s$ км — расстояние от А до К. Автобус проезжает путь АК за время $\frac{s}{v}$, а автомобиль — за время $\frac{s}{85}$.

Автомобиль выехал на полчаса позже автобуса, но догнал его в точке К, то есть провёл в пути на полчаса меньше:

$$\frac{s}{v}=0,5+\frac{s}{85}.$$

Расстояние от К до Б равно $174-s$ км. После разворота в К автомобиль едет назад в А и проезжает $s$ км со скоростью 85 км/ч за время $\frac{s}{85}$, а автобус проезжает от К до Б оставшиеся $174-s$ км за время $\frac{174-s}{v}$. По условию автомобиль вернулся в А одновременно с прибытием автобуса в Б, значит, эти времена равны:

$$\frac{s}{85}=\frac{174-s}{v}.$$

Из второго уравнения выразим $v$:

$$v=\frac{85(174-s)}{s}.$$

Подставим в первое уравнение:

$$\frac{s^2}{85(174-s)}=0,5+\frac{s}{85}.$$

Умножим обе части на 2, затем на $85(174-s)$:

$$2s^2=85\cdot 174-85s+2s(174-s),$$

$$2s^2=85\cdot 174-85s+348s-2s^2,$$

$$4s^2-263s-85\cdot 174=0.$$

Разложим на множители (дискриминант $D=263^2+16\cdot 85\cdot 174=305809=553^2$):

$$(s-102)(4s+145)=0.$$

Корни: $s_1=102$, $s_2=-\frac{145}{4}$. Расстояние не может быть отрицательным, поэтому $s=102$.

Ответ: $102$.