ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №11 — движение по прямой

Разбор — 1 балл

Пусть $v$ км/ч — скорость третьего велосипедиста, а $t$ часов — время, которое понадобилось ему, чтобы догнать второго (отсчитываем от момента, когда третий выехал). Второй выехал на час раньше третьего, поэтому за время $t$ третий проезжает столько же, сколько второй проезжает за $(t+1)$ час:

$$vt=11(t+1).$$

Отсюда

$$v=\frac{11t+11}{t}=11+\frac{11}{t}.$$

Через 2 часа 30 минут после встречи со вторым третий догнал первого. Первый выехал на 2 часа раньше третьего, поэтому к моменту второй встречи первый был в пути $t+2,5+2$ часов, а третий — $t+2,5$ часов. Запишем равенство пройденных ими расстояний:

$$v\left(t+2,5\right)=14\left(t+4,5\right).$$

Подставим выражение для $v$ и раскроем скобки:

$$\left(11+\frac{11}{t}\right)\left(t+2,5\right)=14t+63,$$

$$11t+27,5+11+\frac{27,5}{t}=14t+63.$$

Перенесём слагаемые с $t$ в правую часть, а числа — в левую:

$$\frac{27,5}{t}=3t+24,5.$$

Умножим обе части на $t$, затем на $2$ (при $t>0$):

$$55=6t^2+49t,$$

$$6t^2+49t-55=0.$$

Найдём дискриминант: $D=49^2+4\cdot 6\cdot 55=2401+1320=3721=61^2$. Корни:

$$t_1=\frac{-49+61}{12}=1,t_2=\frac{-49-61}{12}=-\frac{55}{6}.$$

Время положительно, поэтому $t=1$ час. Тогда скорость третьего велосипедиста

$$v=11+\frac{11}{1}=22\text{ км/ч}.$$

Ответ: $22$.