ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №11 — движение по воде

Разбор — 1 балл

Скорость плота равна скорости течения — 4 км/ч (плот сам не плывёт, его несёт течением). За время, пока плот проплыл 52 км, прошло:

$$t=\frac{52}{4}=13\text{ (ч)}.$$

Яхта вышла на час позже плота, поэтому к тому моменту, когда плот проплыл эти 52 км, яхта была в пути $13-1=12$ часов.

За эти 12 часов яхта успела доплыть от А до В по течению (140 км) и вернуться назад против течения (ещё 140 км) — то есть именно к этому моменту она уже закончила обратный путь. Пусть собственная скорость яхты равна $x$ км/ч, при этом $x>4$. По течению она идёт со скоростью $(x+4)$ км/ч, против течения — $(x-4)$ км/ч:

$$\frac{140}{x+4}+\frac{140}{x-4}=12.$$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{140(x-4)+140(x+4)}{x^2-16}=12;$$

$$\frac{280x}{x^2-16}=12,$$

откуда

$$280x=12(x^2-16);$$

$$12x^2-280x-192=0.$$

Разделим на 4:

$$3x^2-70x-48=0.$$

Дискриминант $D=4900+576=5476=74^2$, корни:

$$x_1=\frac{70+74}{6}=24,x_2=\frac{70-74}{6}<0.$$

Так как $x>4$, собственная скорость яхты равна 24 км/ч.

Ответ: $24$.