ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №11 — движение по прямой

Разбор — 1 балл

Отсчитаем время от момента выезда первого велосипедиста. Пусть скорость третьего велосипедиста равна $x$ км/ч, а время, за которое он догнал второго велосипедиста (от своего старта), равно $t$ ч.

Второй велосипедист выехал на час позже первого, поэтому к моменту встречи с третьим он был в пути $(t+1)$ ч и проехал $10(t+1)$ км (его скорость 10 км/ч). Третий за это время проехал $xt$ км. Раз они встретились, их пути равны:

$$10(t+1)=xt.$$

Третий велосипедист догнал первого через 2 часа после того, как догнал второго, то есть через $(t+2)$ ч после своего старта. Третий выехал на 2 часа позже первого (на час позже второго, который выехал на час позже первого), поэтому к этому моменту первый велосипедист был в пути $(t+2)+2=(t+4)$ ч и проехал $12(t+4)$ км (его скорость 12 км/ч). Третий проехал $x(t+2)$ км:

$$12(t+4)=x(t+2).$$

Получили систему:

$$\{\begin{array}{l}10(t+1)=xt,\\ 12(t+4)=x(t+2).\end{array}$$

Из первого уравнения выразим $t$ через $x$: $10t+10=xt$, то есть $t(x-10)=10$, откуда $t=\frac{10}{x-10}$.

Подставим во второе уравнение:

$$12\left(\frac{10}{x-10}+4\right)=x\left(\frac{10}{x-10}+2\right);$$

$$\frac{120}{x-10}+48=\frac{10x}{x-10}+2x.$$

Умножим обе части на $(x-10)$:

$$120+48(x-10)=10x+2x(x-10);$$

$$120+48x-480=10x+2x^2-20x;$$

$$48x-360=2x^2-10x;$$

$$2x^2-58x+360=0;$$

$$x^2-29x+180=0.$$

Дискриминант $D=841-720=121=11^2$, корни:

$$x_1=\frac{29+11}{2}=20,x_2=\frac{29-11}{2}=9.$$

Так как третий велосипедист догоняет и первого (12 км/ч), и второго (10 км/ч), его скорость должна быть больше скорости обоих, поэтому корень $x=9$ не подходит. Значит, скорость третьего велосипедиста равна 20 км/ч.

Ответ: $20$.