ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №11 — движение по прямой

Разбор — 1 балл

Переведём 48 минут в часы: $\frac{48}{60}=\frac{4}{5}$ ч — именно столько прошло от выезда до встречи мотоциклиста и велосипедиста. Пусть на весь путь мотоциклист тратит $x$ часов, тогда велосипедист, который приехал на 3 часа позже, тратит $(x+3)$ часа.

Если принять весь путь за единицу, то скорость мотоциклиста равна $\frac{1}{x}$ пути в час, а велосипедиста — $\frac{1}{x+3}$. Так как они движутся навстречу друг другу, сумма их скоростей равна скорости схождения, то есть обратному времени до встречи:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}=\frac{1}{4/5}=\frac{5}{4}.$$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{(x+3)+x}{x(x+3)}=\frac{5}{4};$$

$$\frac{2x+3}{x(x+3)}=\frac{5}{4}.$$

Умножим обе части на $4x(x+3)$:

$$4(2x+3)=5x(x+3);$$

$$8x+12=5x^2+15x;$$

$$5x^2+7x-12=0.$$

Дискриминант $D=49+240=289=17^2$, корни:

$$x_1=\frac{-7+17}{10}=1,x_2=\frac{-7-17}{10}=-2,4.$$

Время не может быть отрицательным, поэтому мотоциклист затратил на весь путь 1 час. Велосипедист, который был в пути на 3 часа дольше, затратил:

$$x+3=1+3=4\text{ (ч)}.$$

Ответ: $4$.