ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №11 — движение по воде

Разбор — 1 балл

Плот движется со скоростью течения — 1 км/ч. Путь в 18 км он проходит за

$$t_{\text{плот}}=\frac{18}{1}=18\text{ часов}.$$

Пусть скорость яхты в неподвижной воде равна $x$ км/ч, при этом $x>1$. По течению яхта движется со скоростью $(x+1)$ км/ч, а против течения — со скоростью $(x-1)$ км/ч.

Яхта отправилась на 1 час позже плота, а момент её возвращения в A совпал с моментом, когда плот прошёл 18 км, то есть с моментом $t=18$ часов от старта плота. Значит, сама яхта провела в пути $18-1=17$ часов. За это время она прошла 144 км по течению и 144 км против течения:

$$\frac{144}{x+1}+\frac{144}{x-1}=17.$$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{144(x-1)+144(x+1)}{(x+1)(x-1)}=17⟹\frac{288x}{x^2-1}=17.$$

Умножим обе части на $(x^2-1)$:

$$288x=17(x^2-1)⟹17x^2-288x-17=0.$$

Найдём дискриминант: $D=288^2+4\cdot 17\cdot 17=82944+1156=84100=290^2$. Корни уравнения:

$$x=\frac{288\pm 290}{34}⟹x_1=17,x_2=-\frac{1}{17}.$$

Так как $x>1$, подходит только $x=17$.

Ответ: $17$.