ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №11 — движение по прямой

Разбор — 1 балл

Обозначим весь путь через $2S$ км, а скорость первого автомобиля — через $x$ км/ч, при этом по условию $x>30$. На первой половине пути второй автомобиль движется со скоростью $(x-6)$ км/ч (на 6 км/ч медленнее первого), а на второй половине — со скоростью 56 км/ч.

Первый автомобиль затратил на весь путь время $\frac{2S}{x}$. Второй автомобиль затратил на первую половину пути время $\frac{S}{x-6}$, а на вторую — $\frac{S}{56}$, то есть всего

$$\frac{S}{x-6}+\frac{S}{56}.$$

Автомобили выехали одновременно и прибыли в B одновременно, поэтому их время в пути совпадает:

$$\frac{2S}{x}=\frac{S}{x-6}+\frac{S}{56}.$$

Разделим обе части на $S$ (это равносильный переход, так как путь положителен):

$$\frac{2}{x}=\frac{1}{x-6}+\frac{1}{56}.$$

Умножим обе части на $56x(x-6)$ и раскроем скобки:

$$2\cdot 56(x-6)=56x+x(x-6)⟹112x-672=56x+x^2-6x.$$

Перенесём все члены в одну сторону:

$$x^2-62x+672=0.$$

Найдём дискриминант: $D=62^2-4\cdot 672=3844-2688=1156=34^2$. Корни уравнения:

$$x=\frac{62\pm 34}{2}⟹x_1=48,x_2=14.$$

По условию скорость первого автомобиля больше 30 км/ч, значит, подходит только $x=48$.

Ответ: $48$.