ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №11 — движение по воде

Разбор — 1 балл

Плот движется со скоростью течения — 3 км/ч. Путь в 24 км он проходит за

$$t_{\text{плот}}=\frac{24}{3}=8\text{ часов}.$$

Пусть скорость яхты в неподвижной воде равна $x$ км/ч, при этом $x>3$ (иначе она не могла бы плыть против течения). По течению яхта движется со скоростью $(x+3)$ км/ч, а против течения — со скоростью $(x-3)$ км/ч.

Яхта отправилась на 1 час позже плота, а момент её возвращения в A совпал с моментом, когда плот проплыл 24 км, то есть с моментом $t=8$ часов от старта плота. Значит, сама яхта провела в пути $8-1=7$ часов. За это время она прошла 72 км по течению и 72 км против течения, поэтому составим уравнение:

$$\frac{72}{x+3}+\frac{72}{x-3}=7.$$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{72(x-3)+72(x+3)}{(x+3)(x-3)}=7⟹\frac{144x}{x^2-9}=7.$$

Умножим обе части на $(x^2-9)$:

$$144x=7(x^2-9)⟹7x^2-144x-63=0.$$

Найдём дискриминант: $D=144^2+4\cdot 7\cdot 63=20736+1764=22500=150^2$. Корни уравнения:

$$x=\frac{144\pm 150}{14}⟹x_1=21,x_2=-\frac{3}{7}.$$

Так как $x>3$, подходит только $x=21$.

Ответ: $21$.