ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №11 — движение по прямой

Разбор — 1 балл

Пусть $y$ км/ч — скорость автомобиля, а $x$ км — расстояние от A до C. Тогда расстояние от C до B равно $(150-x)$ км.

Автомобиль доехал до точки C за время $\frac{x}{y}$, а мотоциклист — за время $\frac{x}{90}$. Мотоциклист выехал на 30 минут, то есть на $\frac{1}{2}$ часа, позже автомобиля, поэтому

$$\frac{x}{y}-\frac{x}{90}=\frac{1}{2}.$$

После встречи мотоциклист вернулся из C в A за то же время $\frac{x}{90}$ (путь и скорость те же), а автомобиль доехал из C в B за время $\frac{150-x}{y}$. По условию они прибыли одновременно — автомобиль в B, а мотоциклист в A, — значит, эти промежутки времени равны:

$$\frac{x}{90}=\frac{150-x}{y}.$$

Из второго уравнения выразим $y$:

$$y=\frac{90(150-x)}{x}.$$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$\frac{x^2}{90(150-x)}-\frac{x}{90}=\frac{1}{2}.$$

Умножим обе части на 90:

$$\frac{x^2}{150-x}-x=45.$$

Умножим обе части на $(150-x)$ и раскроем скобки:

$$x^2-x(150-x)=45(150-x)⟹x^2-150x+x^2=6750-45x.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$2x^2-105x-6750=0.$$

Найдём дискриминант: $D=105^2+4\cdot 2\cdot 6750=11025+54000=65025=255^2$. Корни уравнения:

$$x=\frac{105\pm 255}{4}⟹x_1=90,x_2=-37,5.$$

Расстояние не может быть отрицательным, поэтому подходит только $x=90$.

Ответ: $90$.