ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №1 — вписанная окружность

Если в выпуклый четырёхугольник вписана окружность, то суммы его противоположных сторон равны между собой:

$$AB+CD=BC+AD.$$

Это следует из равенства отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки: если точки касания окружности со сторонами делят их на отрезки, прилегающие к вершинам $A$, $B$, $C$, $D$, то отрезки, выходящие из одной вершины к двум соседним сторонам, равны. Складывая стороны $AB$ и $CD$, получаем ту же сумму отрезков касательных, что и при сложении сторон $BC$ и $AD$.

Значит, обе суммы противоположных сторон равны половине периметра четырёхугольника:

$$AB+CD=\frac{P}{2}=\frac{30}{2}=15.$$

Отсюда

$$CD=15-AB=15-9=6.$$

Ответ: $6$.