ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №1 — стороны фигуры

Разбор — 1 балл

Обозначим равнобедренную трапецию $ABCD$, где большее основание $AD=21$, меньшее $BC=11$, а боковые стороны $AB=CD=13$. Опустим высоты $BE$ и $CF$ из вершин $B$ и $C$ на основание $AD$.

Из-за симметрии равнобедренной трапеции отрезки $AE$ и $FD$ равны между собой и составляют половину разности оснований:

$$AE=FD=\frac{AD-BC}{2}=\frac{21-11}{2}=5.$$

В прямоугольном треугольнике $ABE$ по теореме Пифагора найдём высоту трапеции:

$$BE=\sqrt{A{B}^2-A{E}^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12.$$

Проведём диагональ $BD$ и рассмотрим прямоугольный треугольник $BED$. Его катеты равны $BE=12$ и

$$ED=AD-AE=21-5=16.$$

По теореме Пифагора находим диагональ:

$$BD=\sqrt{E{D}^2+B{E}^2}=\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{256+144}=\sqrt{400}=20.$$

Ответ: $20$.