ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №1 — вписанный и центральный углы

Разбор — 1 балл

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры, поэтому точки $A$, $O$, $C$ и точки $B$, $O$, $D$ лежат на прямых, проходящих через центр $O$. Луч $CO$ совпадает с лучом $CA$, значит, угол $OCB$ равен данному углу $ACB$:

$$\angle OCB=\angle ACB=61^{\circ }.$$

$OB$ и $OC$ — радиусы окружности, поэтому они равны, а треугольник $OBC$ равнобедренный с равными углами при основании:

$$\angle OBC=\angle OCB=61^{\circ }.$$

Сумма углов треугольника $OBC$ равна $180^{\circ }$, поэтому

$$\angle BOC=180^{\circ }-\angle OBC-\angle OCB=180^{\circ }-61^{\circ }-61^{\circ }=58^{\circ }.$$

Углы $BOC$ и $AOD$ — вертикальные (образованы пересечением прямых $AC$ и $BD$ в точке $O$), а вертикальные углы равны:

$$\angle AOD=\angle BOC=58^{\circ }.$$

Ответ: $58$.