ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №1 — стороны фигуры

Задача из открытого банка ФИПИ с ответом и разбором. Введи ответ — проверим сразу.

1 балл на ЕГЭ 1 часть экзамена

№1 Стороны фигуры средняя 2025

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны $62 + 312 .$ Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Разбор — 1 балл

Треугольник равнобедренный прямоугольный, поэтому его гипотенуза равна катету, умноженному на $2$ (по теореме Пифагора: если оба катета равны $k$ , то гипотенуза равна $k 2$ ):

$A B = (62 + 312) 2 = 622 + 312 \cdot 2 = 622 + 62.$

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен

$r = \frac{a + b - c}{2},$

где $a = b = 62 + 312$ — катеты, $c = 622 + 62$ — гипотенуза. Подставим:

$r = \frac{2 ( 62 + 31 2 ) - ( 62 2 + 62 )}{2} = \frac{124 + 62 2 - 62 2 - 62}{2} = \frac{62}{2} = 31.$

Ответ: $31$ .

Ещё задания №1

1-035T, лёгкая

Стороны параллелограмма равны 24 и 27. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 18. Найдите высоту, опущенную на бо́льшую сторону параллелограмма.

1-052P, лёгкая

В треугольнике $A B C$ угол $C$ равен $5 4^{\circ}$ , $A D$ — биссектриса, угол $B A D$ равен $2 3^{\circ}$ . Найдите величину угла $A D B$ . Ответ дайте в градусах.

1-064I, лёгкая

Отрезки $A C$ и $B D$ — диаметры окружности с центром $O$ . Угол $A C B$ равен $4 1^{\circ}$ . Найдите величину угла $A O D$ . Ответ дайте в градусах.

Как решать №1 Решать дальше №1