ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №1 — тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Разбор — 1 балл

Так как $AB=BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, поэтому углы при этом основании равны:

$$\angle CAB=\angle ACB.$$

Равные углы имеют равные косинусы, поэтому достаточно найти $\cos \angle ACB$.

Высота $AH$ опущена на сторону $BC$, поэтому треугольник $AHC$ прямоугольный с прямым углом при вершине $H$. По теореме Пифагора:

$$A{C}^2=A{H}^2+C{H}^2,$$

$$CH=\sqrt{A{C}^2-A{H}^2}=\sqrt{25^2-{\left(4\sqrt{6}\right)}^2}=\sqrt{625-96}=\sqrt{529}=23.$$

В прямоугольном треугольнике $AHC$ косинус угла $ACB$ равен отношению прилежащего катета $CH$ к гипотенузе $AC$:

$$\cos \angle CAB=\cos \angle ACB=\frac{CH}{AC}=\frac{23}{25}=\frac{92}{100}=0,92.$$

Ответ: $0,92$.