ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №1 — вписанный и центральный углы

Проведём радиус $OM$ в точку касания $M$. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $\angle AMO=90^{\circ }$.

В прямоугольном треугольнике $AMO$ сумма острых углов равна $90^{\circ }$, значит,

$$\angle AOM=90^{\circ }-\angle MAO=90^{\circ }-36^{\circ }=54^{\circ }.$$

Так как секущая $AC$ проходит через центр $O$, а $AB<AC$, точка $B$ лежит между $A$ и $O$, поэтому луч $OB$ совпадает с лучом $OA$, и угол $AOM$ совпадает с углом $BOM$.

Угол $ACM$ — вписанный угол с вершиной $C$, опирающийся на дугу $BM$, а угол $BOM$ — центральный угол, опирающийся на ту же дугу. Центральный угол в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же дугу:

$$\angle BOM=2\angle ACM\Rightarrow \angle ACM=\frac{\angle BOM}{2}=\frac{54^{\circ }}{2}=27^{\circ }.$$

Ответ: $27$.