ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №1 — вписанный и центральный углы

Проведём радиус $OM$ в точку касания $M$. Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, угол $AMO$ равен $90^{\circ }$.

В прямоугольном треугольнике $AMO$:

$$\angle AOM=90^{\circ }-\angle MAO=90^{\circ }-34^{\circ }=56^{\circ }.$$

Так как секущая $AC$ проходит через центр $O$ и $AB<AC$, точка $B$ лежит между $A$ и $O$, значит, угол $AOM$ совпадает с углом $BOM$.

Угол $ACM$ — вписанный, опирается на дугу $BM$, а $BOM$ — центральный угол на той же дуге. Центральный угол вдвое больше вписанного:

$$\angle ACM=\frac{\angle BOM}{2}=\frac{56^{\circ }}{2}=28^{\circ }.$$

Ответ: $28$.