ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №1 — стороны фигуры

Разбор — 1 балл

Обозначим равнобедренную трапецию $ABCD$ с большим основанием $AD$, меньшим основанием $BC$ и диагоналями $AC$ и $BD$, пересекающимися в точке $O$ под прямым углом. Опустим высоту $BH$ на основание $AD$ и обозначим среднюю линию $EF$.

Так как трапеция равнобедренная, её диагонали равны: $AC=BD$, а значит, треугольник $AOD$, образованный большим основанием и прилежащими отрезками диагоналей, равнобедренный: $AO=OD$. По условию угол между диагоналями прямой, поэтому угол $AOD$ тоже равен $90^{\circ }$ (как вертикальный или смежный с данным углом). Значит, треугольник $AOD$ — прямоугольный и равнобедренный, а его острые углы равны $45^{\circ }$:

$$\angle ADO=\angle OAD=45^{\circ }.$$

Угол $ADO$ — это угол между основанием $AD$ и диагональю $BD$, то есть угол $ADB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHD$ (угол при $H$ прямой, так как $BH$ — высота). В нём угол при вершине $D$ равен $45^{\circ }$, значит, второй острый угол тоже равен $45^{\circ }$:

$$\angle DBH=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }.$$

Треугольник $BHD$ оказался равнобедренным прямоугольным, поэтому его катеты равны:

$$BH=HD.$$

По свойству равнобедренной трапеции отрезок от вершины меньшего основания до основания высоты равен половине разности оснований: $AH=\frac{1}{2}(AD-BC)$. Тогда

$$HD=AD-AH=AD-\frac{1}{2}(AD-BC)=\frac{1}{2}(AD+BC).$$

А выражение $\frac{1}{2}(AD+BC)$ — это и есть средняя линия трапеции $EF$. Значит,

$$EF=HD=BH=48.$$

Ответ: $48$.