ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №1 — стороны фигуры

Разбор — 1 балл

Обозначим равнобедренную трапецию $ABCD$, где большее основание $AD=21$, меньшее $BC=9$, а боковые стороны $AB=CD=10$. Опустим высоты $BE$ и $CF$ из вершин $B$ и $C$ на основание $AD$.

Из-за симметрии равнобедренной трапеции отрезки $AE$ и $FD$ равны между собой и составляют половину разности оснований:

$$AE=FD=\frac{AD-BC}{2}=\frac{21-9}{2}=6.$$

В прямоугольном треугольнике $ABE$ по теореме Пифагора найдём высоту трапеции:

$$BE=\sqrt{A{B}^2-A{E}^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8.$$

Проведём диагональ $BD$ и рассмотрим прямоугольный треугольник $BED$. Его катеты равны $BE=8$ и

$$ED=AD-AE=21-6=15.$$

По теореме Пифагора находим диагональ:

$$BD=\sqrt{E{D}^2+B{E}^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17.$$

Ответ: $17$.