ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №1 — вписанный и центральный углы

Дуги $AB$, $BC$, $CD$, $AD$ относятся как $12:4:7:13$. Обозначим общий коэффициент через $x$, тогда

$$\stackrel{⌣}{\mathrm{AB}}=12x,\stackrel{⌣}{\mathrm{BC}}=4x,\stackrel{⌣}{\mathrm{CD}}=7x,\stackrel{⌣}{\mathrm{AD}}=13x.$$

Эти четыре дуги в сумме составляют полную окружность, то есть $360^{\circ }$:

$$12x+4x+7x+13x=360^{\circ }\Rightarrow 36x=360^{\circ }\Rightarrow x=10^{\circ }.$$

Угол $BAD$ с вершиной в точке $A$ — вписанный, и он опирается на дугу $BCD$ (часть окружности между $B$ и $D$, проходящую через $C$, не содержащую $A$):

$$\stackrel{⌣}{\mathrm{BCD}}=\stackrel{⌣}{\mathrm{BC}}+\stackrel{⌣}{\mathrm{CD}}=4x+7x=11x=11\cdot 10^{\circ }=110^{\circ }.$$

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

$$\angle BAD=\frac{1}{2}\cdot 110^{\circ }=55^{\circ }.$$

Ответ: $55$.