ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №1 — углы фигуры

Разбор — 1 балл

В прямоугольном треугольнике $ABC$ прямой угол расположен при вершине $C$, а высота $CH$ и медиана $CM$ проведены из этой же вершины к гипотенузе $AB$.

Рассмотрим треугольник $BCH$: он прямоугольный, так как высота перпендикулярна гипотенузе, то есть $\angle CHB=90^{\circ }$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ }$, поэтому

$$\angle BCH=90^{\circ }-\angle B=90^{\circ }-65^{\circ }=25^{\circ }.$$

Точка $M$ — середина гипотенузы, поэтому медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: $CM=AM=BM$. Значит, треугольник $BCM$ равнобедренный, и углы при основании, лежащие против равных сторон, равны между собой. Угол, лежащий против стороны $CM$, — это угол $MBC$, то есть угол $B$ самого треугольника $ABC$; угол, лежащий против стороны $BM$, — это угол $BCM$. Поэтому

$$\angle BCM=\angle B=65^{\circ }.$$

Угол $A=90^{\circ }-65^{\circ }=25^{\circ }$ меньше угла $B$, поэтому основание высоты $H$ лежит ближе к вершине $B$, чем середина $M$, то есть луч $CH$ проходит внутри угла $BCM$. Значит, искомый угол между высотой и медианой равен разности:

$$\angle HCM=\angle BCM-\angle BCH=65^{\circ }-25^{\circ }=40^{\circ }.$$

Ответ: $40$.