ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №1 — вписанный и центральный углы

Разбор — 1 балл

Сумма углов любого треугольника равна $180^{\circ }$, поэтому для треугольника $ABC$ запишем:

$$\angle BAC+\angle BCA=180^{\circ }-\angle ABC=180^{\circ }-74^{\circ }=106^{\circ }.$$

Точка $O$ — центр вписанной окружности, то есть точка пересечения биссектрис треугольника. Значит, $AO$ делит угол $BAC$ пополам, а $CO$ делит угол $BCA$ пополам:

$$\angle OAC=\frac{\angle BAC}{2},\angle OCA=\frac{\angle BCA}{2}.$$

Рассмотрим треугольник $AOC$: сумма его углов тоже равна $180^{\circ }$, поэтому

$$\angle AOC=180^{\circ }-\angle OAC-\angle OCA=180^{\circ }-\frac{\angle BAC+\angle BCA}{2}.$$

Подставим найденную сумму углов $A$ и $C$:

$$\angle AOC=180^{\circ }-\frac{106^{\circ }}{2}=180^{\circ }-53^{\circ }=127^{\circ }.$$

Ответ: $127$.