ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №1 — углы фигуры

Разбор — 1 балл

Трапеция $ABCD$ равнобедренная, поэтому углы при большем основании равны:

$$\angle BAD=\angle CDA.$$

Пусть $O$ — точка пересечения продолжений боковых сторон $AB$ и $DC$. По условию угол между ними в точке $O$ равен $60^{\circ }$:

$$\angle AOD=60^{\circ }.$$

В треугольнике $AOD$ углы при основании $AD$ равны между собой (они равны углам трапеции при этом же основании), а угол при вершине $O$ равен $60^{\circ }$. Поэтому оставшиеся два угла в сумме дают $120^{\circ }$ и равны по $60^{\circ }$ каждый — треугольник $AOD$ равносторонний:

$$AO=OD=AD=51.$$

Тогда

$$OB=AO-AB=51-9=42.$$

Так как $BC\parallel AD$, треугольник $BOC$ подобен треугольнику $AOD$ и так же равносторонний, поэтому

$$BC=OB=42.$$

Это и есть меньшее основание трапеции.

Ответ: $42$.