ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №1 — углы фигуры

Разбор — 1 балл

Медиана $CM$, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника $ABC$, по свойству медианы в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы:

$$CM=\frac{1}{2}AB=BM.$$

Значит, в треугольнике $BMC$ стороны $CM$ и $BM$ равны, то есть он равнобедренный с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

$$\angle MCB=\angle CBM=36^{\circ }.$$

Биссектриса $CD$ делит прямой угол $C$ пополам:

$$\angle ACD=\frac{1}{2}\cdot 90^{\circ }=45^{\circ }.$$

Лучи $CD$ и $CM$ лежат внутри угла $ACB$, поэтому

$$\angle ACD+\angle DCM+\angle BCM=90^{\circ }.$$

Отсюда угол между биссектрисой и медианой

$$\angle DCM=90^{\circ }-\left(\angle ACD+\angle BCM\right)=90^{\circ }-\left(45^{\circ }+36^{\circ }\right)=9^{\circ }.$$

Ответ: $9$.