ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №1 — стороны фигуры

Разбор — 1 балл

Пусть $MN$ — средняя линия трапеции $ABCD$ ($M$ — середина $AB$, $N$ — середина $CD$), а $BC$ — меньшее основание. Диагональ $BD$ пересекает среднюю линию в точке $K$.

В треугольнике $ABD$ отрезок $MK$ параллелен $AD$ и проходит через середину $AB$, значит, по теореме о средней линии треугольника он делит сторону $BD$ пополам и равен половине $AD$:

$$MK=\frac{1}{2}AD.$$

В треугольнике $BCD$ отрезок $NK$ параллелен $BC$ и является средней линией этого треугольника:

$$NK=\frac{1}{2}BC.$$

Так как $BC$ — меньшее основание, $BC<AD$, поэтому $NK<MK$. По условию диагональ делит среднюю линию в отношении $5:3$, причём большая часть прилегает к большему основанию:

$$MK:NK=5:3.$$

Если $MK=5t$, $NK=3t$, то $MN=MK+NK=8t$, откуда

$$NK=\frac{3}{8}MN.$$

Подставим $MN=30$:

$$NK=\frac{3}{8}\cdot 30=\frac{45}{4}.$$

Меньшее основание

$$BC=2NK=2\cdot \frac{45}{4}=\frac{90}{4}=22,5.$$

Ответ: $22,5$.