ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №1 — площадь и периметр

Разбор — 1 балл

Обозначим стороны прямоугольника $AB$ и $BC$.

Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому его периметр равен

$$2AB+2BC=66,AB+BC=33.$$

Диагональ $AC$ и стороны $AB$, $BC$ образуют прямоугольный треугольник, значит, по теореме Пифагора

$$A{B}^2+B{C}^2=A{C}^2.$$

Воспользуемся тождеством

$$(AB+BC{)}^2=A{B}^2+2\cdot AB\cdot BC+B{C}^2,$$

откуда

$$A{B}^2+B{C}^2=(AB+BC{)}^2-2\cdot AB\cdot BC.$$

Подставим это в равенство из теоремы Пифагора и учтём, что $AB\cdot BC=S$ — площадь прямоугольника:

$$(AB+BC{)}^2-2S=A{C}^2,S=\frac{(AB+BC{)}^2-A{C}^2}{2}.$$

Подставим числа:

$$S=\frac{33^2-32^2}{2}=\frac{1089-1024}{2}=\frac{65}{2}=32,5.$$

Ответ: $32,5$.