ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №1 — углы фигуры

Разбор — 1 балл

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, поэтому

$$CM=AM=BM.$$

В треугольнике $CBM$ стороны $CM$ и $BM$ равны, значит, он равнобедренный с основанием $CB$, и углы при основании равны:

$$\angle BCM=\angle MBC=16^{\circ }.$$

Сумма острых углов прямоугольного треугольника $ABC$ равна $90^{\circ }$, поэтому

$$\angle A=90^{\circ }-\angle B=90^{\circ }-16^{\circ }=74^{\circ }.$$

В прямоугольном треугольнике $ACH$ угол при вершине $H$ прямой, значит,

$$\angle ACH=90^{\circ }-\angle A=90^{\circ }-74^{\circ }=16^{\circ }.$$

Угол $ACB$ равен $90^{\circ }$ и складывается из трёх углов: $\angle ACH$, искомого угла $\angle HCM$ между высотой и медианой, и $\angle BCM$. Поэтому

$$\angle HCM=\angle ACB-\angle ACH-\angle BCM=90^{\circ }-16^{\circ }-16^{\circ }=58^{\circ }.$$

Ответ: $58$.